Maths Spécialité (1ère) (Amérique du Nord) - Bac 2026

Informations sur l'épreuve

Filière du bac : Voie générale
Epreuve : Mathématiques Spécialité (Première)
Niveau d'études : Première
Année : 2026
Session : Normale
Centre d'examen : Amérique du Nord
Date de l'épreuve : 1 juin 2026
Durée de l'épreuve : 2 heures
Calculatrice : Interdite

Extrait de l'annale

Partie automatismes - QCM (correction) :
Il faut répondre à des questions rapides sur les bases du calcul, les pourcentages, les probabilités, les fonctions et les équations, sans justification.

Exercice 1 (correction) :
On étudie un jeu de fête foraine avec des tirages de boules dans une urne. Il faut modéliser les probabilités, déterminer les gains possibles et chercher quand le jeu devient équitable.

Exercice 2 (correction) :
On modélise la production de panneaux solaires de Camille. Il faut lire un graphique, utiliser une suite pour l'évolution du prix de l'électricité, puis interpréter un programme Python qui estime la rentabilité de l'installation.

Exercice 3 (correction) :
On étudie une fonction avec une exponentielle. L'objectif est de calculer sa dérivée, d'en déduire ses variations et de repérer les éventuelles tangentes horizontales.

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2026

MATHÉMATIQUES

ÉPREUVE ANTICIPÉE

Pour les candidats AVEC ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES

Durée de l’épreuve : 2 heures - Coefficient : 2

L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé.

Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet.

Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1/7 à 7/7.

Vous traiterez les deux parties du sujet dans leur intégralité.

Répartition des points

Première partie	6 points
Deuxième partie	14 points

26-MATSPEGEAN1Page 1 sur 7

PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES – QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.

Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

Question 1

Le nombre $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \times 4$ est égal à :

8

\frac{13}{2}

4

\frac{16}{8}

Question 2

Le volume de la partie visible d’un iceberg est d’environ $10 %$ de son volume total. Si la partie visible d’un iceberg est de $150 {km}^{3}$ , quel sera le volume total de cet iceberg ?

1350 {km}^{3}

1500 {km}^{3}

15 {km}^{3}

135 {km}^{3}

Question 3

Le prix d’un article est multiplié par $0,845$ . Cela signifie que le prix de cet article a :

A. augmenté de $84,5 %$	B. baissé de $1,55 %$
C. augmenté de $15,5 %$	D. baissé de $15,5 %$

Question 4

On considère la fonction $A$ définie pour tout réel $x$ par :

A (x) = (x + 5) (x + 8)

Le tableau de signes de $A (x)$ sur $ℝ$ est :

$x$	$- \infty$		$−8$		$−5$		$+ \infty$
$A (x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

$x$	$- \infty$		$−5$		$+ \infty$
$A (x)$		$-$	$0$	$+$

$x$	$- \infty$		$−8$		$−5$		$+ \infty$
$A (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

$x$	$- \infty$		$5$		$8$		$+ \infty$
$A (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

26-MATSPEGEAN1Page 2 sur 7

Question 5

Un singe choisit une lettre au hasard parmi les lettres de l’alphabet.
On note les évènements :

$V$ : « Le singe choisit une voyelle. »
$M$ : « Le singe choisit une des lettres du mot SINGE. »

Rappel : L’alphabet est constitué de 26 lettres dont les voyelles sont : A, E, I, O, U, Y.

On note $P_{M} (V)$ la probabilité que le singe choisisse une voyelle sachant qu’il a choisi une lettre du mot SINGE. On peut alors affirmer que $P_{M} (V)$ vaut :

\frac{6}{26}

\frac{2}{5}

\frac{2}{6}

\frac{5}{6}

Question 6

Soit $f$ une fonction affine, dont on a tracé la représentation graphique dans le repère ci-contre.

Une expression algébrique de $f$ est :

A. $f (x) = - x + 30$	B. $f (x) = 30 x + 3$
C. $f (x) = - 10 x + 30$	D. $f (x) = - \frac{1}{10} x + 30$

Droite décroissante passant par (0 ; 30) et (3 ; 0) dans un repère gradué.

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Question 7

La forme développée et réduite de l’expression ${(x + 2)}^{2} - {(1 - x)}^{2}$ vaut :

2 x^{2} + 3

6 x + 3

2 x + 5

2 x^{2} + 2 x + 3

Question 8

L’équation $2 (x - 4) - (2 x + 1) = 0$ admet :

A. Deux solutions : $4 et \frac{1}{2}$	B. Deux solutions : $4 et - \frac{1}{2}$
C. Aucune solution	D. Une infinité de solutions

Question 9

On considère le nombre réel : $E = \frac{2 \times 3^{2}}{27 \times 2^{3}}$ . On peut affirmer que $E$ est égal à :

\frac{1}{9}

\frac{1}{12}

12

\frac{1}{6}

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DEUXIÈME PARTIE (14 points)

Exercice 1 (6 points)

Durant une fête foraine, une urne contient dix boules. Chaque boule est soit verte, soit rouge, indiscernable au toucher.

Un jeu est proposé aux personnes présentes à la fête foraine. Pour y participer le joueur doit d’abord payer 1 euro.

Ensuite,

le joueur tire une première boule qu’il donne au forain, celui-ci note sa couleur puis remet la boule dans l’urne ;
le joueur tire une deuxième boule, le forain note la couleur de ce deuxième tirage et remet à nouveau la boule dans l’urne.

Voici les récompenses qu’il obtient :

si le joueur a tiré deux boules rouges, il reçoit 3 euros ;
si le joueur a tiré deux boules vertes, il reçoit 1 euro ;
sinon il ne reçoit pas d’argent.

Partie A

Dans cette partie, on considère que cette urne contient $1$ boule rouge et $9$ boules vertes.

On note :

$R_{1}$ l’événement : « La première boule tirée est rouge. »
$R_{2}$ l’événement : « La deuxième boule tirée est rouge. »

Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation.

Arbre pondéré à deux tirages avec remise : branches R1 et non R1, puis R2 et non R2, probabilités à compléter.

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26-MATSPEGEAN1Page 4 sur 7

On note X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur, c’est-à-dire la différence entre la somme reçue après les deux tirages et les frais de participation au jeu de 1 euro.
1. Donner les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ .
2. Montrer que $P (X = - 1) = \frac{18}{100}$ .
3. Recopier sur votre feuille et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$ :
  
  $k$
  
  $P (X = k)$
4. Calculer l’espérance de $X$ . Interpréter le résultat.

Partie B

Dans cette partie, on considère que cette urne contient maintenant $n$ boules rouges et $10 - n$ boules vertes où $n$ est un nombre entier naturel avec $0 \leq n \leq 10$ .

On note $Y$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique après les deux tirages.

Démontrer que $E (Y) = \frac{4 n^{2} - 20 n}{100}$ .
On expliquera la démarche mise en œuvre. Toute démarche, même incomplète, sera prise en compte dans la notation.
Pour combien de boules rouges dans l’urne le jeu est-il équitable entre le joueur et le forain ?

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Exercice 2 (4 points)

Pour réduire sa facture d’électricité, Camille a décidé de faire poser des panneaux solaires sur le toit de sa maison.
Elle souhaite analyser sa production et estimer le temps nécessaire pour rentabiliser cet investissement.

Les deux parties suivantes sont indépendantes.

Partie A

Lors d’une belle journée ensoleillée, la puissance électrique en kilowatt (kW) des panneaux solaires de Camille peut être modélisée en fonction de l’heure par une fonction $f$ . On admet que $f$ est définie sur $[0; 24]$ et on donne sa courbe représentative $𝒞_{f}$ ci-dessous.

Avec la précision permise par le graphique :

Courbe de puissance solaire de 0 à 24 heures, maximum de 8 kW vers 13 h, axes gradués.

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Donner la puissance électrique des panneaux solaires à 11h00.
Résoudre graphiquement l’inéquation $f (x) \geq 5$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.

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Partie B

Le coût pour 1 kilowattheure (kWh) consommé au tarif réglementé était de $0,15 €$ en 2020. On admet que ce tarif réglementé augmente de $6$ % chaque année.

On note $c_{n}$ le coût en euros (€) pour $1$ kWh consommé durant l’année $2020 + n$ , avec $n$ un entier naturel. On a alors $c_{0} = 0,15$ .

Déterminer la nature de la suite $(c_{n})$ . On précisera sa raison.
Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $c_{n}$ en fonction de $n$ .
Donner le calcul permettant d’obtenir le coût pour 1 kWh consommé en 2030.
Il n’est pas demandé d’effectuer ce calcul.
On admet que, chaque année depuis 2020, l’utilisation des panneaux solaires de Camille lui a permis d’éviter l’achat de 2000 kWh par an.
L’installation des panneaux solaires en janvier 2020 a coûté à Camille 7000€.
On considère le programme Python ci-contre.
1. Dans le contexte de l’énoncé, que représentent les variables c et S du programme ?
2. On exécute le programme ci-contre.
  Il affiche 16.
  Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.
```
n = 0
        c = 0.15
        S = 0
        while S < 7000 :
            S = S + c*2000
            n = n+1
            c = 1.06*c
        print(n)
```

Exercice 3 (4 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par :

f (x) = (4 x - 4) e^{- 0,5 x} + 5

On note $𝒞_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

On admet que $f$ est dérivable sur $ℝ$ et on note $f^{'}$ sa fonction dérivée.

Montrer que, pour tout $x \in ℝ$ , $f^{'} (x) = (- 2 x + 6) e^{- 0,5 x}$ .
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ sur $ℝ$ puis en déduire les variations de la fonction $f$ sur $ℝ$ .
La courbe $𝒞_{f}$ admet-elle des points pour lesquels la tangente est horizontale ? Si oui, on précisera les coordonnées exactes de ces éventuels points.

26-MATSPEGEAN1Page 7 sur 7

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Corrigé du bac général 2026

Classe de première

Mathématiques Spécialité

Amérique du Nord

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2026

MATHÉMATIQUES

ÉPREUVE ANTICIPÉE

Pour les candidats AVEC ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES

Durée de l’épreuve : 2 heures

L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé

Correction proposée par un professeur de mathématiques pour le site sujetdebac.fr

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AUTOMATISMES – QCM (6 points)

Question 1 : réponse B

On commence par la multiplication :

\frac{3}{2} \times 4 = 6

Donc :

\frac{1}{2} + 6 = \frac{1}{2} + \frac{12}{2} = \frac{13}{2}

Question 2 : réponse B

La partie visible représente 10 % du volume total.

Si 10 % valent 150 km³, alors 100 % valent 10 fois plus :

150 \times 10 = 1500 {km}^{3}

Question 3 : réponse D

Multiplier par $0,845$ signifie que le nouveau prix représente $84,5 %$ de l’ancien prix.

Il manque donc :

100 % - 84,5 % = 15,5 %

Le prix a baissé de 15,5 %.

Question 4 : réponse C

On a :

A (x) = (x + 5) (x + 8)

Les deux valeurs qui annulent l’expression sont :

x = - 8

x = - 5

Comme le coefficient dominant est positif, le signe est positif à l’extérieur des racines et négatif entre les deux racines :

+

0

-

0

+

Question 5 : réponse B

Les lettres du mot SINGE sont : S, I, N, G, E.

Parmi ces 5 lettres, les voyelles sont I et E, donc il y en a 2 :

P_{M} (V) = \frac{2}{5}

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Question 6 : réponse C

Sur le graphique, la droite coupe l’axe des ordonnées en $30$ , donc l’ordonnée à l’origine est $30$ .

Elle passe aussi par le point d’abscisse $3$ et d’ordonnée $0$ . La pente vaut donc :

\frac{0 - 30}{3 - 0} = - 10

Ainsi :

f (x) = - 10 x + 30

Question 7 : réponse B

On peut développer rapidement :

(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4

(1 - x)^{2} = 1 - 2 x + x^{2} = x^{2} - 2 x + 1

Donc :

\begin{array}{rcl} (x + 2)^{2} - (1 - x)^{2} & = & x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} - 2 x + 1) \\ = & 6 x + 3 \end{array}

Question 8 : réponse C

On simplifie le membre de gauche :

\begin{array}{rcl} 2 (x - 4) - (2 x + 1) & = & 2 x - 8 - 2 x - 1 \\ = & - 9 \end{array}

L’équation devient donc :

- 9 = 0

C’est impossible, donc il n’y a aucune solution

Question 9 : réponse B

On peut calculer en posant les multiplications :

E = \frac{2 \times 3^{2}}{27 \times 2^{3}} = \frac{2 \times 9}{27 \times 8} = \frac{18}{216} = \frac{1}{12}

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EXERCICE 1 (6 points)

Partie A

1. Il y a 1 boule rouge et 9 boules vertes sur 10. Comme la boule est remise dans l’urne après le premier tirage, les probabilités sont les mêmes au deuxième tirage.

P (R_{1}) = \frac{1}{10}

P (\bar{R_{1}}) = \frac{9}{10}

Après $R_{1}$ :

P_{R_{1}} (R_{2}) = \frac{1}{10}

P_{R_{1}} (\bar{R_{2}}) = \frac{9}{10}

Après $\bar{R_{1}}$ :

P_{\bar{R_{1}}} (R_{2}) = \frac{1}{10}

P_{\bar{R_{1}}} (\bar{R_{2}}) = \frac{9}{10}

Ce qui donne l’arbre complété suivant :

Arbre à deux tirages avec remise : branches rouge et verte, probabilités 1/10 et 9/10.

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Arbre de probabilités avec remise : chaque tirage a une probabilité rouge 1/10 et verte 9/10.

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2.a. Le joueur paie toujours 1 euro au départ.

S’il tire deux boules rouges, il reçoit 3 euros, donc son gain algébrique est :

3 - 1 = 2

S’il tire deux boules vertes, il reçoit 1 euro, donc son gain algébrique est :

1 - 1 = 0

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S’il tire une boule rouge et une boule verte, il ne reçoit rien, donc son gain algébrique est :

0 - 1 = - 1

Ainsi, les valeurs prises par $X$ sont :

- 1, 0, 2

2.b. L’événement $X = - 1$ correspond au cas où le joueur tire deux boules de couleurs différentes.

Il peut donc tirer rouge puis verte, ou verte puis rouge :

P (X = - 1) = P (R_{1} \cap \bar{R_{2}}) + P (\bar{R_{1}} \cap R_{2})

P (X = - 1) = \frac{1}{10} \times \frac{9}{10} + \frac{9}{10} \times \frac{1}{10} = \frac{9}{100} + \frac{9}{100} = \frac{18}{100}

2.c. La loi de probabilité complété :

$k$	$- 1$	$0$	$2$
$P (X = k)$	$\frac{18}{100}$	$\frac{81}{100}$	$\frac{1}{100}$

En effet, $X = 0$ correspond à deux boules vertes :

P (X = 0) = \frac{9}{10} \times \frac{9}{10} = \frac{81}{100}

et $X = 2$ correspond à deux boules rouges :

P (X = 2) = \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} = \frac{1}{100}

2.d. On calcule l’espérance :

\begin{array}{rcl} E (X) & = & (- 1) \times \frac{18}{100} + 0 \times \frac{81}{100} + 2 \times \frac{1}{100} \\ = & - \frac{18}{100} + \frac{2}{100} = - \frac{16}{100} = - 0,16 \end{array}

Cela signifie que, sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne 0,16 euro par partie, c’est-à-dire 16 centimes.

Le jeu est donc défavorable au joueur.

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Partie B

1. Il y a $n$ boules rouges sur 10, donc :

P (R) = \frac{n}{10}

Il y a $10 - n$ boules vertes sur 10, donc :

P (V) = \frac{10 - n}{10}

Les tirages se font avec remise, donc les probabilités se multiplient directement.

Le joueur gagne 2 euros s’il tire deux boules rouges :

P (Y = 2) = \frac{n}{10} \times \frac{n}{10} = \frac{n^{2}}{100}

Le joueur gagne 0 euro s’il tire deux boules vertes :

P (Y = 0) = \frac{10 - n}{10} \times \frac{10 - n}{10}

Ce cas ne changera pas l’espérance, car il est multiplié par 0.

Le joueur gagne −1 euro s’il tire deux boules de couleurs différentes :

P (Y = - 1) = \frac{n}{10} \times \frac{10 - n}{10} + \frac{10 - n}{10} \times \frac{n}{10} = \frac{2 n (10 - n)}{100}

Donc :

E (Y) = 2 \times \frac{n^{2}}{100} + 0 \times P (Y = 0) + (- 1) \times \frac{2 n (10 - n)}{100}

\begin{array}{rcl} E (Y) & = & \frac{2 n^{2}}{100} - \frac{2 n (10 - n)}{100} \\ = & \frac{2 n^{2} - 20 n + 2 n^{2}}{100} \\ = & \frac{4 n^{2} - 20 n}{100} \end{array}

2. Le jeu est équitable lorsque l’espérance est nulle :

\begin{array}{crcl} E (Y) & = & 0 \\ \Leftrightarrow & \frac{4 n^{2} - 20 n}{100} & = & 0 \\ \Leftrightarrow & 4 n^{2} - 20 n & = & 0 \\ \Leftrightarrow & 4 n (n - 5) & = & 0 \end{array}

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Donc :

n = 0 ou n = 5

Le jeu est équitable lorsqu’il y a 0 boule rouge ou 5 boules rouges dans l’urne.

EXERCICE 2 (4 points)

Partie A

1. On lit graphiquement l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse $11$ .

À 11h00, la puissance électrique est d’environ :

6 kW

2. On cherche les moments de la journée où la courbe est au-dessus de la droite horizontale d’équation :

y = 5

D’après le graphique, la courbe est au-dessus de cette droite environ entre $10,5$ et $15,5$ .

Donc les solutions sont approximativement :

x \in [10,5; 15,5]

Cela signifie que les panneaux solaires produisent au moins 5 kW environ de 10h30 à 15h30, c’est-à-dire pendant une durée d’environ 5 heures.

Partie B

1. Chaque année, le tarif augmente de 6 %, donc il est multiplié par :

1 + \frac{6}{100} = 1,06

La suite $(c_{n})$ est donc géométrique, de premier terme :

c_{0} = 0,15

et de raison :

1,06

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2. Comme $(c_{n})$ est une suite géométrique :

c_{n} = c_{0} \times {1,06}^{n}

Donc, pour tout entier naturel $n$ :

c_{n} = 0,15 \times {1,06}^{n}

3. L’année 2030 correspond à :

2020 + n = 2030

donc :

n = 10

Le calcul à effectuer est donc :

c_{10} = 0,15 \times {1,06}^{10}

4.a. La variable $c$ représente le coût, en euros, d’un kilowattheure pour l’année considérée.

La variable $S$ représente la somme totale économisée par Camille grâce aux panneaux solaires depuis leur installation.

À chaque tour de boucle, on ajoute l’économie réalisée pendant une année :

c \times 2000

car Camille évite l’achat de 2000 kWh par an.

4.b. Le programme s’arrête lorsque la somme économisée atteint ou dépasse le coût de l’installation, c’est-à-dire 7000 €.

Comme le programme affiche :

16

cela signifie qu’il faut 16 années d’utilisation pour que les économies réalisées par Camille atteignent ou dépassent 7000 €.

L’installation est donc rentabilisée au bout de 16 ans.

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EXERCICE 3 (4 points)

1. On a :

f (x) = (4 x - 4) e^{- 0,5 x} + 5

La fonction est la somme d’un produit et d’une constante, donc on utilise :

(uv)' = u' v + uv'

avec :

u (x) = 4 x - 4

u' (x) = 4

v (x) = e^{- 0,5 x}

v' (x) = - 0,5 e^{- 0,5 x}

Donc :

f' (x) = 4 e^{- 0,5 x} + (4 x - 4) (- 0,5 e^{- 0,5 x})

On factorise par $e^{- 0,5 x}$ :

\begin{array}{rcl} f' (x) & = & (4 - 0,5 (4 x - 4)) e^{- 0,5 x} \\ = & (4 - 2 x + 2) e^{- 0,5 x} \\ = & (- 2 x + 6) e^{- 0,5 x} \end{array}

2. Pour tout réel $x$ , on sait que :

e^{- 0,5 x} > 0

Le signe de $f' (x)$ est donc du signe de :

- 2 x + 6

On résout :

\begin{array}{crcl} - 2 x + 6 & = & 0 \\ \Leftrightarrow & - 2 x & = & - 6 \\ \Leftrightarrow & x & = & 3 \end{array}

Ainsi :

- 2 x + 6 > 0 si x < 3

- 2 x + 6 = 0 si x = 3

- 2 x + 6 < 0 si x > 3

Donc $f$ est croissante sur $] - \infty; 3]$ et décroissante sur $[3; + \infty [$ .

La fonction admet donc un maximum en $x = 3$ . Sa valeur est :

f (3) = (4 \times 3 - 4) e^{- 0,5 \times 3} + 5 = 8 e^{- 1,5} + 5 = 8 e^{- \frac{3}{2}} + 5

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On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

$x$	$- \infty$		$3$		$+ \infty$
$f' (x)$		$+$	$0$	$-$
Variations de $f$		↗	$8 e^{- \frac{3}{2}} + 5$	↘

3. Une tangente est horizontale lorsque le nombre dérivé est nul.

On cherche donc les réels $x$ tels que :

f' (x) = 0

Or on sait que :

f' (x) = (- 2 x + 6) e^{- 0,5 x}

Comme l’exponentielle n’est jamais nulle, il suffit de résoudre :

\begin{array}{crcl} - 2 x + 6 & = & 0 \\ \Leftrightarrow & x & = & 3 \end{array}

Il y a donc un seul point de la courbe où la tangente est horizontale.

Son ordonnée est :

f (3) = 8 e^{- \frac{3}{2}} + 5

Les coordonnées exactes de ce point sont donc :

(3; 8 e^{- \frac{3}{2}} + 5)

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