Spécialité Mathématiques (Asie 2) - Bac 2026

Informations sur l'épreuve

Filière du bac : Voie générale
Epreuve : Spécialité - Mathématiques
Niveau d'études : Terminale
Année : 2026
Session : Normale
Centre d'examen : Asie 2
Date de l'épreuve : 10 juin 2026
Durée de l'épreuve : 4 heures
Calculatrice : Autorisée

Extrait de l'annale

Exercice 1 (correction) :
On étudie une fonction rationnelle, puis une suite définie par récurrence à partir de cette fonction. Il faut montrer que la suite converge vers une limite, interpréter un algorithme de seuil et trouver une expression générale des termes.

Exercice 2 (correction) :
On modélise des lancers-francs au basket avec des probabilités. Il faut utiliser la loi binomiale, calculer des probabilités de réussite, puis étudier une fonction pour déterminer à partir de quelle probabilité un joueur a de fortes chances de réussir au moins deux tirs.

Exercice 3 (correction) :
On travaille en géométrie dans l'espace avec un tétraèdre. Il faut déterminer un plan, une droite perpendiculaire, une projection orthogonale, une distance, puis calculer une aire et un volume.

Exercice 4 (correction) :
Il s'agit d'un vrai-faux à justifier sur plusieurs thèmes indépendants : convexité d'une fonction, dénombrement, probabilités conditionnelles avec un arbre, puis équation différentielle.

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

SESSION 2026

MATHÉMATIQUES

Jour 2

Durée de l’épreuve : 4 heures

Coefficient : 16

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

L’usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.

Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet.

Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1/5 à 5/5.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.

Tous les exercices doivent être traités.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Les candidates et les candidats sont invités à faire figurer sur leurs copies
toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse.

26-MATJ2JA11/5

Exercice 1

5 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $] - \infty; \frac{3}{2} [$ par $f (x) = \frac{x - 2}{2 x - 3}$ .

Justifier tous les éléments du tableau de variation ci-dessous.

$x$	$- \infty$ $\frac{3}{2}$
$f$	$\frac{1}{2}$ $+\infty$

En déduire que pour tout $x \in [0; 1]$ , on a :

$f (x) \in [0; 1]$

Partie B

On considère la suite $(u_{n})$ définie par :

{\begin{cases} u_{0} = 0 \\ u_{n + 1} = \frac{u_{n} - 2}{2 u_{n} - 3}, pour tout entier naturel n \end{cases}

En utilisant la fonction $f$ , démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :

$0 \leq u_{n} \leq u_{n + 1} \leq 1$
En déduire que la suite $(u_{n})$ converge.
On note $l$ la limite de la suite $(u_{n})$ .
En admettant que $l$ est solution de l’équation $f (x) = x$ sur l’intervalle $[0; 1]$ , montrer que $l = 1$ .
On donne ci-dessous une fonction seuil écrite en langage Python.
```
def seuil(h):
    n=0
    u=0
    while u<1-h:
        n=n+1
        u=(u-2)/(2*u-3)
    return n
```
L’appel seuil(0.0001) renvoie la valeur 5 000.

Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
1. Donner les quatre premiers termes de la suite $(u_{n})$ sous forme de fractions irréductibles.
2. Conjecturer l’expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ et démontrer cette conjecture.

26-MATJ2JA12/5

Exercice 2

5 points

On pourra traiter indépendamment les deux parties de l’exercice.
On arrondira, si nécessaire, les résultats à $10^{- 3}$ près.

Dans cet exercice, on s’intéresse aux lancers-francs effectués par un joueur lors de compétitions de basketball. Pour modéliser la situation, on considère dans chaque partie du problème que les conditions dans lesquelles s’effectuent ces lancers sont identiques et que ces lancers sont indépendants deux à deux.

Partie A

Les statistiques de réussite des lancers-francs d’un joueur sont de $49,2 %$ lors d’une saison.
Dans cette partie, on assimilera cette fréquence à sa probabilité de réussite d’un lancer-franc.
Au cours d’un match, ce joueur tente $16$ lancers-francs.
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers-francs réussis par ce joueur lors de ce match.

Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $X$ et l’interpréter dans le contexte de cet exercice.
Calculer $P (X = 5)$ .
Calculer la probabilité que le joueur réussisse au moins six lancers-francs.

Partie B

On note $p$ la probabilité que le joueur réussisse un lancer-franc, où $p$ est un réel tel que $0 \leq p \leq 1$ .

On se place dans le cas où le joueur effectue $3$ lancers-francs.
On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers-francs réussis par ce joueur.

Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $Y$ .
Exprimer $P (Y = 2)$ en fonction de $p$ .
Donner la loi de probabilité de $Y$ . Présenter la réponse sous forme de tableau.
Montrer que $P (Y \geq 2) = - 2 p^{3} + 3 p^{2}$ .
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0; 1]$ par

$f (x) = - 2 x^{3} + 3 x^{2}$
1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0; 1]$ et dresser son tableau de variation en y faisant figurer les valeurs aux bornes de l’intervalle $[0; 1]$ .
2. En déduire l’existence d’une unique valeur $α$ dans l’intervalle $[0; 1]$ telle que $f (α) = 0,9$ .
3. Donner un encadrement d’amplitude $10^{- 2}$ de cette valeur $α$ .
4. Interpréter la valeur de $α$ dans le contexte de l’exercice.

26-MATJ2JA13/5

Exercice 3

5 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ , on considère les points

A (1; 2; 3), B (- 1; 3; 1), C (2; 1; 6) et D (3; - 2; - 1)

1. Montrer que les points $A$ , $B$ et $C$ définissent un plan.
2. Montrer que le vecteur $\vec{n} (1; 4; 1)$ est normal au plan $(ABC)$ .
3. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$ .
1. Déterminer une équation paramétrique de la droite $(d)$ , perpendiculaire au plan $(ABC)$ et passant par le point $D$ .
2. Déterminer les coordonnées du point $H$ qui est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$ .
3. En déduire que la distance du point $D$ au plan $(ABC)$ est égale à $3 \sqrt{2}$ .
1. Montrer que $\cos (\overset{⌢}{BAC}) = - \frac{3 \sqrt{11}}{11}$ .
2. En déduire la valeur exacte de $\sin (\overset{⌢}{BAC})$ .
3. Montrer que l’aire du triangle $ABC$ vaut $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .
Déterminer le volume du tétraèdre $ABCD$ .

On rappelle que le volume $𝒱$ d’un tétraèdre est donné par la formule suivante :

$𝒱 = \frac{1}{3} \times ℬ \times h,$

où $ℬ$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur qui lui est associée.

26-MATJ2JA14/5

Exercice 4

5 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre choix. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte dans l’évaluation.

Les quatre questions sont indépendantes.

On considère la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par

$f (x) = {(- \frac{1}{2} x + 3)}^{5}$

Affirmation 1 : La fonction $f$ est convexe sur $ℝ$ .
Une urne contient 32 jetons numérotés de 1 à 32 indiscernables au toucher. On tire simultanément 5 jetons de cette urne. On appelle tirage la liste non ordonnée des numéros des cinq jetons tirés.

Affirmation 2 : Le nombre de tirages possibles contenant au moins un multiple de 8 est égal à 103 096.
On considère l’arbre de probabilités ci-dessous.

Image agrandie

$Arbre de probabilités : A et non-A, chacun suivi de B et non-B, avec fractions 2/5, 1/4 et 7/10.$

Faites défiler l'image pour examiner les détails

Affirmation 3 : $P_{B} (\bar{A}) = \frac{9}{50}$ .
On considère l’équation différentielle

$(E) : y^{'} + y = e^{- x} \cos (x),$

où $y$ est une fonction de la variable $x$ , dérivable sur $ℝ$ .

Affirmation 4 : La fonction $h$ définie sur $ℝ$ par $h (x) = e^{- x} \sin (x)$ est solution de $(E)$ sur $ℝ$ .

Affirmation 5 : Les solutions de $(E)$ sur $ℝ$ sont les fonctions $k$ définies sur $ℝ$ par

$k (x) = C e^{- x} \sin (x)$

où $C$ est une constante réelle.

26-MATJ2JA15/5

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Corrigé du bac général 2026

Spécialité Mathématiques – Asie – Jour 2

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

SESSION 2026

MATHÉMATIQUES

Durée de l’épreuve : 4 heures

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

L’usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège », est autorisé.

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EXERCICE 1 (5 points)

Partie A

1. La fonction $f$ est définie sur $] - \infty; \frac{3}{2} [$ , car le dénominateur $2 x - 3$ ne doit pas s’annuler.

Pour tout $x < \frac{3}{2}$ , on a :

f^{'} (x) = \frac{(2 x - 3) - 2 (x - 2)}{(2 x - 3)^{2}} = \frac{1}{(2 x - 3)^{2}}

Ainsi, $f^{'} (x) > 0$ sur $] - \infty; \frac{3}{2} [$ , donc $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Pour la limite en $- \infty$ , on compare les termes de plus haut degré :

lim_{x \to - \infty} \frac{x - 2}{2 x - 3} = lim_{x \to - \infty} \frac{x}{2 x} = \frac{1}{2}

Pour la limite en $\frac{3}{2}$ à gauche, on a :

lim_{x \to {\frac{3}{2}}^{-}} (x - 2) = - \frac{1}{2} et lim_{x \to {\frac{3}{2}}^{-}} (2 x - 3) = 0^{-}

Donc le quotient tend vers $+ \infty$ :

lim_{x \to {\frac{3}{2}}^{-}} f (x) = + \infty

On retrouve bien tous les éléments du tableau de variation.

2. Sur l’intervalle $[0; 1]$ , la fonction $f$ est croissante. Donc, pour tout $x \in [0; 1]$ , on a :

f (0) \leq f (x) \leq f (1)

f (0) = \frac{- 2}{- 3} = \frac{2}{3} et f (1) = \frac{- 1}{- 1} = 1

Ainsi,

\frac{2}{3} \leq f (x) \leq 1

On en déduit bien que, pour tout $x \in [0; 1]$ , on a :

f (x) \in [0; 1]

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Partie B

1. On raisonne par récurrence.

Initialisation :

On a

u_{0} = 0 et u_{1} = f (0) = \frac{2}{3}

Donc

0 \leq u_{0} \leq u_{1} \leq 1

La propriété est vraie au rang 0.

Hérédité :

Supposons que, pour un certain entier naturel $n$ ,

0 \leq u_{n} \leq u_{n + 1} \leq 1

Comme $u_{n}$ et $u_{n + 1}$ appartiennent à $[0; 1]$ , et comme $f$ est croissante sur cet intervalle, on obtient :

\begin{aligned} f (u_{n}) & \leq f (u_{n + 1}) \\ \Leftrightarrow u_{n + 1} & \leq u_{n + 2} \end{aligned}

De plus, d’après la question A.2, comme $u_{n + 1} \in [0; 1]$ , alors

u_{n + 2} = f (u_{n + 1}) \in [0; 1]

Ainsi,

0 \leq u_{n + 1} \leq u_{n + 2} \leq 1

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion :

Par récurrence, pour tout entier naturel $n$ , on a :

0 \leq u_{n} \leq u_{n + 1} \leq 1

2. D’après la question précédente, la suite $(u_{n})$ est croissante et majorée par 1. Une suite croissante et majorée est convergente. Donc la suite $(u_{n})$ converge.

3. On note $ℓ$ la limite de la suite. Comme tous les termes de la suite appartiennent à $[0; 1]$ , on a aussi :

ℓ \in [0; 1]

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La fonction $f$ est continue sur $[0; 1]$ , donc en passant à la limite dans la relation

u_{n + 1} = f (u_{n})

on obtient :

ℓ = f (ℓ)

On résout alors l’équation :

ℓ = \frac{ℓ - 2}{2 ℓ - 3}

Comme $ℓ \in [0; 1]$ , on a bien $2 ℓ - 3 \neq 0$ . On peut donc multiplier :

\begin{aligned} ℓ (2 ℓ - 3) & = ℓ - 2 \\ \Leftrightarrow 2 ℓ^{2} - 3 ℓ & = ℓ - 2 \\ \Leftrightarrow 2 ℓ^{2} - 4 ℓ + 2 & = 0 \\ \Leftrightarrow 2 (ℓ - 1)^{2} & = 0 \\ \Leftrightarrow ℓ & = 1 \end{aligned}

La limite de la suite est donc $1$ .

4. La fonction $seuil (h)$ calcule les termes successifs de la suite jusqu’à ce que l’on ait :

u_{n} \geq 1 - h

L’appel $seuil (0.0001)$ renvoie 5000. Cela signifie que 5000 est le premier rang à partir duquel le terme de la suite est supérieur ou égal à $1 - 0,0001$ , c’est-à-dire à $0,9999$ . Autrement dit :

u_{4999} < 0,9999 \leq u_{5000}

Comme la suite est croissante et converge vers $1$ , cela signifie aussi que pour tout $n \geq 5000$ , $u_{n}$ est à moins de $10^{- 4}$ de sa limite.

5.a. Les quatre premiers termes, en partant de $u_{0}$ , sont :

\begin{aligned} u_{0} & = 0 & u_{1} & = \frac{2}{3} \\ u_{2} & = f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{5} & u_{3} & = f (\frac{4}{5}) = \frac{6}{7} \end{aligned}

5.b. On peut conjecturer que, pour tout entier naturel $n$ , on a :

u_{n} = \frac{2 n}{2 n + 1}

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Démontrons cette formule par récurrence.

Initialisation :

Pour $n = 0$ ,

\frac{2 \times 0}{2 \times 0 + 1} = 0

Donc la formule est vraie au rang 0.

Hérédité :

Supposons que, pour un certain entier naturel $n$ ,

u_{n} = \frac{2 n}{2 n + 1}

Alors

u_{n + 1} = \frac{u_{n} - 2}{2 u_{n} - 3}

En remplaçant $u_{n}$ par l’expression conjecturée :

u_{n + 1} = \frac{\frac{2 n}{2 n + 1} - 2}{2 \frac{2 n}{2 n + 1} - 3}

On simplifie le numérateur et le dénominateur :

u_{n + 1} = \frac{\frac{2 n - 2 (2 n + 1)}{2 n + 1}}{\frac{4 n - 3 (2 n + 1)}{2 n + 1}} = \frac{- 2 n - 2}{- 2 n - 3} = \frac{2 n + 2}{2 n + 3}

\frac{2 n + 2}{2 n + 3} = \frac{2 (n + 1)}{2 (n + 1) + 1}

La formule est donc vraie au rang $n + 1$ .

Conclusion :

Par récurrence, pour tout entier naturel $n$ ,

u_{n} = \frac{2 n}{2 n + 1}

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EXERCICE 2 (5 points)

Partie A

1. Les 16 lancers-francs sont effectués dans des conditions identiques et sont indépendants deux à deux. Chaque lancer a deux issues possibles : réussite ou échec.

La probabilité de réussite est :

p = 0,492

La variable aléatoire $X$ , qui compte le nombre de lancers-francs réussis parmi 16, suit donc une loi binomiale de paramètres $n = 16$ et $p = 0,492$ :

X \sim ℬ (16; 0,492)

2. L’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ vaut $n p$ . Donc :

E (X) = 16 \times 0,492 = 7,872

Cela signifie que, sur un grand nombre de matchs où le joueur effectue 16 lancers-francs, il réussirait en moyenne environ $7,872$ lancers-francs par match, c’est-à-dire environ $8$ .

3. On utilise la formule de la loi binomiale :

P (X = 5) = (\binom{16}{5}) \times {0,492}^{5} \times (1 - 0,492)^{11} = (\binom{16}{5}) \times {0,492}^{5} \times 0, 508^{11}

À la calculatrice, on obtient :

P (X = 5) \approx 0,073

4. On cherche :

P (X \geq 6)

On peut passer par l’événement contraire :

P (X \geq 6) = 1 - P (X \leq 5)

À la calculatrice :

P (X \geq 6) \approx 0,883

Le joueur a donc environ $88,3 %$ de chances de réussir au moins six lancers-francs.

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Partie B

1. Le joueur effectue 3 lancers-francs, donc le nombre de réussites possibles est :

0, 1, 2, 3

Ainsi, la variable aléatoire $Y$ prend ses valeurs dans :

{0; 1; 2; 3}

2. L’événement $(Y = 2)$ correspond au fait que le joueur réussit exactement 2 lancers-francs parmi 3.

On a donc :

P (Y = 2) = (\binom{3}{2}) p^{2} (1 - p) = 3 p^{2} (1 - p)

3. La variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $3$ et $p$ . On obtient donc le tableau suivant :

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P (Y = k)$	$(1 - p)^{3}$	$3 p (1 - p)^{2}$	$3 p^{2} (1 - p)$	$p^{3}$

4. On a :

P (Y \geq 2) = P (Y = 2) + P (Y = 3)

Donc :

P (Y \geq 2) = 3 p^{2} (1 - p) + p^{3} = 3 p^{2} - 3 p^{3} + p^{3} = - 2 p^{3} + 3 p^{2}

5.a. La fonction $f$ est définie et dérivable sur $[0; 1]$ :

f (x) = - 2 x^{3} + 3 x^{2}

On calcule sa dérivée :

f^{'} (x) = - 6 x^{2} + 6 x = 6 x (1 - x)

Sur l’intervalle $[0; 1]$ , on a $x \geq 0$ et $1 - x \geq 0$ . Donc :

f^{'} (x) \geq 0

La fonction $f$ est donc croissante sur $[0; 1]$ .

De plus :

f (0) = 0 et f (1) = 1

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Le tableau de variation est donc :

$x$	$0$		$1$
$f^{'} (x)$	$0$	$+$	$0$
$f (x)$	$0$		$1$

5.b. La fonction $f$ est continue sur $[0; 1]$ , car c’est une fonction polynôme. D’après la question précédente, elle est croissante sur $[0; 1]$ , avec :

f (0) = 0 et f (1) = 1

Or :

0 < 0,9 < 1

Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une valeur $α \in [0; 1]$ telle que :

f (α) = 0,9

Comme $f$ est strictement croissante sur $] 0; 1 [$ , cette valeur est unique.

5.c. On calcule :

f (0,80) = - 2 \times {0,80}^{3} + 3 \times {0,80}^{2} = 0,896

f (0,81) = - 2 \times {0,81}^{3} + 3 \times {0,81}^{2} \approx 0,905

On a donc :

f (0,80) < 0,9 < f (0,81)

Comme $f$ est strictement croissante sur $[0; 1]$ , on en déduit :

0,80 < α < 0,81

Cet encadrement est bien d’amplitude $10^{- 2}$ .

5.d. D’après la question B.4, $f (p)$ est la probabilité que le joueur réussisse au moins 2 lancers-francs sur 3.

Or $α$ est défini par :

f (α) = 0,9

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Ainsi, si $p = α$ , alors la probabilité que le joueur réussisse au moins 2 lancers-francs sur 3 est égale à $0,9$ .

Comme $0,80 < α < 0,81$ , cela correspond à une probabilité de réussite à un lancer-franc comprise entre $80 %$ et $81 %$ .

EXERCICE 3 (5 points)

1.a. On considère les vecteurs :

\begin{aligned} \vec{A B} & = (- 2; 1; - 2) \\ \vec{A C} & = (1; - 1; 3) \end{aligned}

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires : par exemple, les premières coordonnées donneraient un coefficient $- 2$ , mais les deuxièmes coordonnées ne correspondent pas. Donc les points $A$ , $B$ et $C$ ne sont pas alignés. Ils définissent donc un plan.

1.b. On vérifie que le vecteur $\vec{n} (1; 4; 1)$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan $(A B C)$ .

\vec{n} \cdot \vec{A B} = 1 \times (- 2) + 4 \times 1 + 1 \times (- 2) = 0

\vec{n} \cdot \vec{A C} = 1 \times 1 + 4 \times (- 1) + 1 \times 3 = 0

Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à $\vec{A B}$ et à $\vec{A C}$ . Comme ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, $\vec{n}$ est normal au plan $(A B C)$ .

1.c. Le plan $(A B C)$ admet pour vecteur normal $\vec{n} (1; 4; 1)$ . Une équation cartésienne de ce plan est donc de la forme :

x + 4 y + z + d = 0

Comme le point $A (1; 2; 3)$ appartient au plan, on obtient :

\begin{aligned} 1 + 4 \times 2 + 3 + d & = 0 \\ \Leftrightarrow 12 + d & = 0 \\ \Leftrightarrow d & = - 12 \end{aligned}

Ainsi, une équation cartésienne du plan $(A B C)$ est :

x + 4 y + z - 12 = 0

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2.a. La droite $(d)$ est perpendiculaire au plan $(A B C)$ , donc elle a pour vecteur directeur un vecteur normal au plan, par exemple $\vec{n} (1; 4; 1)$ .

Comme elle passe par $D (3; - 2; - 1)$ , une équation paramétrique de $(d)$ est :

{\begin{aligned} x & = 3 + t \\ y & = - 2 + 4 t \\ z & = - 1 + t \end{aligned} avec t \in ℝ

2.b. Le point $H$ est le projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(A B C)$ . Il appartient donc à la droite $(d)$ et au plan $(A B C)$ .

On remplace les coordonnées de la droite dans l’équation du plan :

\begin{aligned} (3 + t) + 4 (- 2 + 4 t) + (- 1 + t) - 12 & = 0 \\ \Leftrightarrow - 18 + 18 t & = 0 \\ \Leftrightarrow t & = 1 \end{aligned}

On remplace alors $t$ par $1$ dans l’équation paramétrique de la droite :

H (4; 2; 0)

2.c. La distance du point $D$ au plan $(A B C)$ est la longueur $D H$ .

\vec{D H} = (4 - 3; 2 - (- 2); 0 - (- 1)) = (1; 4; 1)

Donc :

D H = \sqrt{1^{2} + 4^{2} + 1^{2}} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}

Ainsi, la distance du point $D$ au plan $(A B C)$ est bien égale à $3 \sqrt{2}$ .

3.a. On utilise les vecteurs :

\vec{A B} = (- 2; 1; - 2) et \vec{A C} = (1; - 1; 3)

On calcule leur produit scalaire :

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = (- 2) \times 1 + 1 \times (- 1) + (- 2) \times 3 = - 9

De plus :

A B = \sqrt{(- 2)^{2} + 1^{2} + (- 2)^{2}} = 3

A C = \sqrt{1^{2} + (- 1)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{11}

Donc :

\cos (\hat{B A C}) = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{A C}}{A B \times A C} = \frac{- 9}{3 \sqrt{11}} = - \frac{3}{\sqrt{11}}

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En rationalisant :

\cos (\hat{B A C}) = - \frac{3 \sqrt{11}}{11}

3.b. On sait que :

\sin^{2} (\hat{B A C}) + \cos^{2} (\hat{B A C}) = 1

Donc :

\begin{aligned} \sin^{2} (\hat{B A C}) & = 1 - {(- \frac{3 \sqrt{11}}{11})}^{2} \\ \Leftrightarrow \sin^{2} (\hat{B A C}) & = 1 - \frac{99}{121} \\ \Leftrightarrow \sin^{2} (\hat{B A C}) & = \frac{22}{121} \end{aligned}

Comme $\hat{B A C}$ est un angle géométrique, son sinus est positif. Ainsi :

\sin (\hat{B A C}) = \frac{\sqrt{22}}{11}

3.c. L’aire du triangle $A B C$ est donnée par :

𝒜_{A B C} = \frac{1}{2} \times A B \times A C \times \sin (\hat{B A C})

On remplace par les valeurs trouvées :

𝒜_{A B C} = \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{11} \times \frac{\sqrt{22}}{11} = \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{11 \sqrt{2}}{11} = \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}

4. On choisit comme base du tétraèdre le triangle $A B C$ . La hauteur associée est alors la distance du point $D$ au plan $(A B C)$ , c’est-à-dire :

h = 3 \sqrt{2}

D’après la question 3.c, l’aire de la base vaut :

𝒜_{A B C} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}

Le volume du tétraèdre $A B C D$ est donc :

V = \frac{1}{3} \times 𝒜_{A B C} \times h = \frac{1}{3} \times \frac{3 \sqrt{2}}{2} \times 3 \sqrt{2} = \frac{1}{3} \times 9 = 3

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EXERCICE 4 (5 points)

1. L’affirmation 1 est fausse.

La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $ℝ$ . On calcule :

f^{'} (x) = 5 (- \frac{1}{2}) {(- \frac{1}{2} x + 3)}^{4} = - \frac{5}{2} {(- \frac{1}{2} x + 3)}^{4}

puis :

f^{″} (x) = - \frac{5}{2} \times 4 (- \frac{1}{2}) {(- \frac{1}{2} x + 3)}^{3} = 5 {(- \frac{1}{2} x + 3)}^{3}

Le signe de $f^{″} (x)$ est donc du signe de $- \frac{1}{2} x + 3$ . En particulier :

- \frac{1}{2} x + 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 6

Ainsi, $f^{″} (x) \geq 0$ sur $] - \infty; 6]$ , mais $f^{″} (x) < 0$ sur $] 6; + \infty [$ .

La fonction $f$ n’est donc pas convexe sur $ℝ$ .

2. L’affirmation 2 est vraie.

Les multiples de 8 compris entre 1 et 32 sont :

8, 16, 24, 32

Il y en a donc 4. Les autres jetons sont au nombre de :

32 - 4 = 28

Le nombre total de tirages possibles est :

(\binom{32}{5})

Le nombre de tirages ne contenant aucun multiple de 8 est :

(\binom{28}{5})

Donc le nombre de tirages contenant au moins un multiple de 8 est :

(\binom{32}{5}) - (\binom{28}{5}) = 201376 - 98280 = 103096

3. L’affirmation 3 est fausse.

D’après l’arbre, on a :

P (A) = \frac{2}{5} P_{A} (B) = \frac{1}{4} P (\bar{A}) = \frac{3}{5} P_{\bar{A}} (\bar{B}) = \frac{7}{10}

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Donc :

P_{\bar{A}} (B) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}

On calcule :

P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}

et :

P (\bar{A} \cap B) = P (\bar{A}) \times P_{\bar{A}} (B) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{10} = \frac{9}{50}

Ainsi :

P (B) = P (A \cap B) + P (\bar{A} \cap B) = \frac{1}{10} + \frac{9}{50} = \frac{14}{50}

On cherche :

P_{B} (\bar{A}) = \frac{P (\bar{A} \cap B)}{P (B)}

Donc :

P_{B} (\bar{A}) = \frac{\frac{9}{50}}{\frac{14}{50}} = \frac{9}{14}

On obtient $\frac{9}{14}$ , et non $\frac{9}{50}$ . L’affirmation est donc fausse.

4. L’affirmation 4 est vraie

On dérive :

h^{'} (x) = - e^{- x} \sin (x) + e^{- x} \cos (x)

Donc :

h^{'} (x) + h (x) = - e^{- x} \sin (x) + e^{- x} \cos (x) + e^{- x} \sin (x) = e^{- x} \cos (x)

La fonction $h$ est donc bien solution de l’équation différentielle.

5. L’affirmation 5 est fausse.

On teste les fonctions de la forme :

k (x) = C e^{- x} \sin (x)

On obtient, de la même façon que précédemment :

k^{'} (x) + k (x) = C e^{- x} \cos (x)

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Pour que $k$ soit solution de l’équation différentielle, il faudrait donc :

C e^{- x} \cos (x) = e^{- x} \cos (x)

ce qui impose $C = 1$ . Les fonctions de la forme $C e^{- x} \sin (x)$ ne sont donc pas toutes solutions.

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